Korbin's blog

SNR 与 EVM 的关系

关系

当 SNR 较大（大于 10dB）时，SNR=-20lg(EVM)，其中 SNR 的单位为 dB，EVM 为正实数。

如果 EVM 用 dB 表示，可以简化为SNR = -2*EVM_dB。(此式在 SNR 大于 4dB 时，误差较小，不超过 1dB)

下面依次介绍 log、dB、dBm、evm、snr 的概念，再说明此结论的推导过程。

对数公式

如果 a^b=N(a>0,且 a≠1，则 b 叫做以 a 为底 N 的对数，公式如下，其中 a 叫做底数，N 叫做真数， b 叫对数。

对数

通常我们将以 10 为底的对数叫常用对数，以 e 为底的对数叫自然对数。

常用对数：lg(b)=log_10(b)lg(b) = log\_{10}(b) (10 为底数)。

自然对数：ln(b)=log_e(b)ln(b) = log\_{e}(b) (e 为对数)。

对数的基本性质中，下面的结论经常用到：

logaMn=nlogaMlg10=1lg2≈0.3lg1=0\begin{array}{l} log_{a}M^n = nlog_{a}M \cr lg10 = 1 \cr lg2 \approx 0.3 \cr lg1 = 0 \end{array}

信号强度

日常中通常使用功率来衡量一个电器做功的快慢，如一个 10W 的电灯泡，10W 功率就是电灯泡消耗能量做功的快慢。

在天线收发系统里，同样也需要消耗电能来转换为电磁波的能量进行传输。

但是电磁波的能量衰减非常快，例如一个 100mW 的能量源，传输一段距离后很快就能衰减成 1mW、0.1mW、0.01mW 甚至更小。

对于这种呈几何数量级的衰减，使用功率来衡量会给计数带来不便，因此引用新的概念：dB 和 dBm。

dB 介绍

dB 是一个表征相对值的值，纯粹的比值，只表示两个量的相对大小关系，没有单位。公式为 dB=10lg(A/B)，一般作为（SNR）信噪比、损耗的单位。

当考虑甲的功率相比于乙功率大或小多少个 dB 时，按下面的计算公式：10log（甲功率/乙功率）。

例如 A 的功率为 100mW，B 的功率为 10mW，则 10lg（100 / 10） = 10dB，说明 A 比 B 大 10dB。

例：如何理解：+3 dB 表示增大为两倍，-3 dB 表示下降为 1/2。 如果 A 的功率开始为 100mW，经过衰减变成了 50mw，则 10lg（50 / 100） = 10lg（1/ 2） = -10lg（2）= -3dB。 如果 A 的功率开始为 100mW，经过放大变成了 200mw，则 10lg（200 / 100） = 10lg（2） = 3dB。

dBm 介绍

dBm 是一个表示功率绝对值（可以认为是以 1mW 功率为基准的一个比值），计算公式为：10log（功率值/1mw）。

记住一个口诀： 加 3 乘 2， 加 10 乘 10； 减 3 除 2，减 10 除 10 （+3 dB，表示功率增加为 2 倍；+10 dB，表示功率增加为 10 倍。-3 dB，表示功率减小为 1/2；-10 dB，表示功率减小为 1/10）。

例：功率 P 为 1mw，折算为 dBm 后为 0dBm。 40W 的功率，按 dBm 单位进行折算后的值应为： 10log（40W/1mw)=10log（40000）= 46dBm。 按口决： 40W = 1w _ (( 10 _ 10 _ 10)W _ 10 _ 2 _ 2) => 10 + 10 + 10 + 10 + 3 + 3 = 46dBm 那么 44dBm 是多少 W？ (25W)

需要注意的是，对于功率的增益，我们用 10lg（Po/Pi），而对于电压和电流的增益，要用 20lg（Vo/Vi）、20lg（Io/Ii）。

原因是 这个 2 来源于电功率转换公式的平方上：

P=UI=I2R=U2RP = UI = I^2R = \frac {U^2} {R}

SNR 和 EVM

SNR 介绍

信噪比 SNR（Signal-to-noise Ratio），指的是系统中信号与噪声的比。公式为 SNR = 10lg（Ps / Pn），其中：

  • SNR：信噪比，单位是 dB。
  • Ps：信号的有效功率。
  • Pn：噪声的有效功率。
SNR(dB)=10∗lg∫s(t)2dt∫n(t)2dt=10∗lg∫s(t)2dt∫(x(t)−s(t))2dt(1)SNR(dB) = 10 *lg \frac {\int s(t)^2 \mathrm{d}t} {\int n(t)^2 \mathrm{d}t} = 10 * lg \frac {\int s(t)^2 \mathrm{d}t} {\int (x(t)-s(t))^2 \mathrm{d}t}\tag{1}

式中x(t)x(t) 为矢量 reference signal，s(t)s(t) 为矢量输入信号。

EVM 介绍

EVM

QAM 调制信号通常用其 EVM 来衡量信号质量，EVM 是英文 Error Vector Magnitude 缩写，意为误差向量幅度。

误差矢量 Error Vector 的幅度与参考信号 Reference Signal 幅度的比值。通常测量的 EVM 为其 RMS 值（Root Mean Square 均方根），计算公式如：

EVM=∫(x(t)−s(t))2dt∫x(t)2dt(2)EVM=\sqrt {\frac {\int (x(t)-s(t))^2 \mathrm{d}t} {\int x(t)^2 \mathrm{d}t}}\tag{2}

式中x(t)x(t) 为矢量 reference signal，s(t)s(t) 为矢量输入信号。

大多时候，EVM 用 dB 表示:

EVMdB=10∗lgEVMEVM_{dB} = 10*lg{EVM}

SNR 与 EVM 关系

从（1）式 和（2）式可以看出：当矢量输入信号s(t)s(t)越接近于矢量reference signal x(t)x(t)，即s(t)s(t)可以用x(t)x(t)代替，推导如下：

SNR(dB)=10∗lg∫s(t)2dt∫(x(t)−s(t))2dt≈10∗lg∫x(t)2dt∫(x(t)−s(t))2dt=−1∗10∗lg∫(x(t)−s(t))2dt∫x(t)2dt=−10∗lg(EVM2)=−2∗10∗lg(EVM)=−2EVMdB\begin{array}{l} SNR(dB) = 10 * lg \frac {\int s(t)^2 \mathrm{d}t} {\int (x(t)-s(t))^2 \mathrm{d}t} \cr \approx 10 * lg \frac {\int x(t)^2 \mathrm{d}t} {\int (x(t)-s(t))^2 \mathrm{d}t} \cr = -1 * 10 * lg \frac {\int (x(t)-s(t))^2 \mathrm{d}t} {\int x(t)^2 \mathrm{d}t} \cr = -10 * lg({EVM}^2) \cr =-2 * 10 * lg(EVM) =-2EVM_{dB} \end{array}