#梯度旋度和散度

有关梯度旋度和散度的定义和计算,记录一下

#1.定义

#1.1梯度

设函数$u=f(x,y,z)$在空间区域$G$内具有一阶连续偏导数，其中点$P(x,y,z) \in G$ 则向量

$$\left( \frac {\partial f}{\partial x}, \frac {\partial f}{\partial y}, \frac {\partial f}{\partial z} \right)= \frac {\partial f}{\partial x}\vec i+ \frac {\partial f}{\partial y}\vec j+ \frac {\partial f}{\partial z}\vec k$$

为函数$u=f(x,y,z)$在点$P(x,y,z)$的梯度

记为$grad\;f(x,y,z)$ 或$\nabla f(x,y,z)$

(注: $\nabla = \frac {\partial}{\partial x}\vec i+\frac {\partial}{\partial y}\vec j+\frac {\partial}{\partial z}\vec k$为三维的向量微分算子)

#1.2旋度

在三维空间$G$ 中有三维直角坐标系$O_{xyz}$,设向量场:

$$\vec v=v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k$$

其中$v_x,v_y,v_z$具有一阶连续偏导数,点$P(x,y,z) \in G$

向量

$$\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \cr \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \cr v_x & v_y & v_z \cr \end{vmatrix} = (\frac {\partial v_z}{\partial y} - \frac {\partial v_y}{\partial z})\vec i+ (\frac {\partial v_x}{\partial z} - \frac {\partial v_z}{\partial x})\vec j+ (\frac {\partial v_y}{\partial x} - \frac {\partial v_x}{\partial y})\vec k$$

为向量场$\vec v$ 在点$P(x,y,z)$的旋度

记为$curl\;v$或者$\nabla \times v$

#1.3散度

在三维空间$G$ 中有三维直角坐标系$O_{xyz}$,设向量场:

$$\vec v=v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k$$

其中$v_x,v_y,v_z$具有一阶连续偏导数,点$P(x,y,z) \in G$

标量

$$\frac {\partial v_x}{\partial x}+ \frac {\partial v_y}{\partial y}+ \frac {\partial v_z}{\partial z}$$

为向量场在点$P(x,y,z) \in G$的散度

记为$div\;v$或$\nabla \cdot v$