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梯度旋度和散度

有关梯度旋度和散度的定义和计算,记录一下

1.定义

1.1梯度

设函数u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)在空间区域GG内具有一阶连续偏导数，其中点P(x,y,z)∈GP(x,y,z) \in G 则向量

(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)=∂f∂xi⃗+∂f∂yj⃗+∂f∂zk⃗\left(
    \frac {\partial f}{\partial x},
    \frac {\partial f}{\partial y},
    \frac {\partial f}{\partial z}
\right)=
\frac {\partial f}{\partial x}\vec i+
\frac {\partial f}{\partial y}\vec j+
\frac {\partial f}{\partial z}\vec k

为函数u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)P(x,y,z)的梯度

记为grad  f(x,y,z)grad\;f(x,y,z) 或∇f(x,y,z)\nabla f(x,y,z)

(注: ∇=∂∂xi⃗+∂∂yj⃗+∂∂zk⃗\nabla = \frac {\partial}{\partial x}\vec i+\frac {\partial}{\partial y}\vec j+\frac {\partial}{\partial z}\vec k为三维的向量微分算子)

1.2旋度

在三维空间GG 中有三维直角坐标系OxyzO_{xyz},设向量场:

v⃗=vxi⃗+vyj⃗+vzk⃗\vec v=v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k

其中vx,vy,vzv_x,v_y,v_z具有一阶连续偏导数,点P(x,y,z)∈GP(x,y,z) \in G

向量

∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zvxvyvz∣=(∂vz∂y−∂vy∂z)i⃗+(∂vx∂z−∂vz∂x)j⃗+(∂vy∂x−∂vx∂y)k⃗  \begin{vmatrix}
  \vec i & \vec j & \vec k \cr
  \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \cr
  v_x & v_y & v_z \cr
  \end{vmatrix} = 
  (\frac {\partial v_z}{\partial y} - \frac {\partial v_y}{\partial z})\vec i+
  (\frac {\partial v_x}{\partial z} - \frac {\partial v_z}{\partial x})\vec j+
  (\frac {\partial v_y}{\partial x} - \frac {\partial v_x}{\partial y})\vec k

为向量场v⃗\vec v 在点P(x,y,z)P(x,y,z)的旋度

记为curl  vcurl\;v或者∇×v\nabla \times v

1.3散度

在三维空间GG 中有三维直角坐标系OxyzO_{xyz},设向量场:

v⃗=vxi⃗+vyj⃗+vzk⃗\vec v=v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k

其中vx,vy,vzv_x,v_y,v_z具有一阶连续偏导数,点P(x,y,z)∈GP(x,y,z) \in G

标量

∂vx∂x+∂vy∂y+∂vz∂z\frac {\partial v_x}{\partial x}+
\frac {\partial v_y}{\partial y}+
\frac {\partial v_z}{\partial z}

为向量场在点P(x,y,z)∈GP(x,y,z) \in G的散度

记为div  vdiv\;v或∇⋅v\nabla \cdot v