梯度旋度和散度
有关梯度旋度和散度的定义和计算,记录一下
1.定义
1.1梯度
设函数$ u=f(x,y,z) $在空间区域$ G $内具有一阶连续偏导数，其中点$ P(x,y,z) \in G $ 则向量
\left(
\frac {\partial f}{\partial x},
\frac {\partial f}{\partial y},
\frac {\partial f}{\partial z}
\right)=
\frac {\partial f}{\partial x}\vec i+
\frac {\partial f}{\partial y}\vec j+
\frac {\partial f}{\partial z}\vec k
为函数$ u=f(x,y,z) $在点$ P(x,y,z) $的梯度
记为$ grad;f(x,y,z) $ 或$ \nabla f(x,y,z) $
(注: $ \nabla = \frac {\partial}{\partial x}\vec i+\frac {\partial}{\partial y}\vec j+\frac {\partial}{\partial z}\vec k $为三维的向量微分算子)
1.2旋度
在三维空间$ G $ 中有三维直角坐标系$ O_{xyz} $,设向量场:
\vec v=v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k
其中$ v_x,v_y,v_z $具有一阶连续偏导数,点$ P(x,y,z) \in G $
向量
\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \cr
\frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \cr
v_x & v_y & v_z \cr
\end{vmatrix} =
(\frac {\partial v_z}{\partial y} - \frac {\partial v_y}{\partial z})\vec i+
(\frac {\partial v_x}{\partial z} - \frac {\partial v_z}{\partial x})\vec j+
(\frac {\partial v_y}{\partial x} - \frac {\partial v_x}{\partial y})\vec k
为向量场$ \vec v $ 在点$ P(x,y,z) $的旋度
记为$ curl;v $或者$ \nabla \times v $
1.3散度
在三维空间$ G $ 中有三维直角坐标系$ O_{xyz} $,设向量场:
\vec v=v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k
其中$ v_x,v_y,v_z $具有一阶连续偏导数,点$ P(x,y,z) \in G $
标量
\frac {\partial v_x}{\partial x}+
\frac {\partial v_y}{\partial y}+
\frac {\partial v_z}{\partial z}
为向量场在点$ P(x,y,z) \in G $的散度
记为$div;v$或$\nabla \cdot v$